실험보고서 작성법 06: 오차와 오차해석

이 포스트는 이공학 고등학생을 위한 과학글쓰기 특강의 내용을 재편집한 것입니다. 일반고 1학년(10학년)을 대상으로 겨울학기 2시간씩 4일 동안 진행했습니다.

과학이나 공학을 더 깊이 공부하면 오차론이라는 것을 배우게 됩니다. 단순히 오차를 구하는 것 뿐만 아니라 통계적 기법으로 오차의 경향을 찾아내거나, 분포와 결합하거나, 사칙연산을 하는 등 복잡한 것을 배우죠. 여기서는 간단하게 어떤 느낌인지 맛만 보는 수준으로 진행합니다.

오차와 오차해석을 쓰는 이유

실험보고서에 무언가를 적는다는 것은 독자가 실험을 이해할 때 필요한 것이라는 뜻입니다. 즉, 오차와 오차해석도 실험을 이해하는데 필요한 내용이죠. 오차는 실험결과를 얼마나 믿을 수 있는지 나타냅니다. 오차가 너무 크면 실험을 통해 확인할 수 있는 사실들과 실험 결과를 토대로 추론할 수 있는 내용이 제한됩니다.

유효숫자

실험보고서의 유효숫자는 측정장치의 정밀도를 가늠할 수 있도록 해줍니다.

그림 1. 눈금간격이 다른 자의 측정값 보고

자, 온도계, 각도기등으로 측정을 할 때는 그림 1과 같이 가까운 눈금을 읽게 됩니다. 이때 최소눈금의 단위가 얼마인지에 따라 측정값의 정밀도가 달라지게 됩니다.

그림 2. 최소눈금이 0인 경우의 측정값 보고

그림 2와 같이 읽는 최소눈금이 0인 경우에는 최소눈금 자릿수에 0을 넣어서 "mm단위까지 측정할 수 있는 장비로 14 cm이 측정된다"는 의미를 전달할 수 있습니다.

측정값의 오차

일반적인 방법은 편차를 계산해서 표시해야 하지만 여기서는 나온 값들의 범위를 나타내도록 하겠습니다. 표시한 오차는 어떻게 계산한 것인지 오차를 표기하는 실험 결과 등에 언급해야 합니다.

그림 3. 오차를 구하는 과정

데이터의 평균을 구하고 최대값과 최소값 중 평균과 더 차이가 큰 값을 오차로 표시합니다. 오차는 {평균}\(\pm \){오차}로 표기하는 것이 일반적입니다.

이 방식은 이해하기에는 쉽지만 반복횟수가 많아질수록 오차가 커질 수 있다보니 반복해서 실험하는 의미가 사라질 수 있습니다. 때문에 보통 오차를 계산할 때는 표준오차나 확률오차를 사용합니다. 표준오차는 오차가 없는 참값이 오차범위 안에 있을 확률이 68.3 %라는 뜻입니다. 확률오차는 참값이 오차범위 안에 있을 확률이 50 %라는 뜻입니다.

표준오차는 안에 참값이 있을 확률이 2/3에 가까우니 부정확해보이지만 표준오차의 두배 범위라면 확률은 95.4 %, 세배라면 99.7 %로 확률이 높아집니다.

표준 오차:
$$ 표준오차 = \sqrt{\frac{\sum_{데이터}{편차}^{2}}{측정수 (측정수 - 1)} } $$

확률오차:
$$확률오차 = 0.6745 \times 표준오차 $$

편차는 데이터에 평균값을 뺀 양입니다. 계산기를 이용해 표준오차를 구하기 위해서는 모든 데이터 편차의 제곱을 더한 뒤 측정수(데이터의 갯수)로 나누고 측정수에서 1을 뺀값으로 한번 더 나눠준 값의 제곱근을 구하면 됩니다. 확률오차는 구한 표준오차에 0.6745를 곱해줍니다.

이렇게 계산한 표준오차와 확률오차도 위의 오차표기와 같은 방식으로 표시합니다. 잊지말고 실험 결과 등 오차를 표시하는 항목에서 어떤 오차인지 적어두어야 합니다.

이론값(참값)이 존재하는 경우의 오차

우리가 하는 실험이 현상이나 물질의 특성을 시험하는 것이라면 측정값의 오차만 다뤄도 문제없습니다. 하지만 실험 목적이 어떤 이론, 혹은 가설로 제시한 규칙을 검증하는 것이라면 실험 결과를 이론값과 비교해봐야 합니다. 초기 조건값을 이론식에 넣어 이론식의 결과와 실험 측정값을 비교합니다.

$$ 오차[\%] = \frac{|이론값 - 측정값|}{이론값} \times 100[\%] $$

이것을 상대오차라고 하며 계산한 값을 실험 결과나 결과 분석에 별도로 표시합니다.

오차 분석 & 오차 해석

현상이나 물질의 특성을 시험하는 경우의 오차 분석 결과는,

1. {조건}에 의해 {대상의 특성}이 변화한다고 보는 것이 타당하다.
2. {조건}과 {대상의 특성}은 관계없다고 보는것이 타당하다.
3. {조건}과 {대상의 특성}사이의 관계를 알 수 없다.

이론을 검증하는 경우에는,

1. 실험 결과는 {이론}이 예측하는 {현상}이 나타남을 알 수 있다.
2. 실험 결과상 {이론}이 예측하는 {현상}이 나타나지 않는다.
3. 실험 결과로는 {이론}이 예측하는 {현상}이 나타나는지 알 수 없다.

두가지 모두 3번은 실험을 잘못 설계했을 때의 결론입니다. 1번과 2번은 결국 결론인데, 오차를 감안하고도 1번과 2번의 결론을 낼 수 있는지가 오차 분석의 과제입니다.